OFDM中的fftshift和ifft

飞蓬大将军真棒

有一次和一位通信前辈交流通信常识，我被问到在OFDM系统中，发射机侧进入ifft还需要进行什么操作?

我思考了一下，我在之前的OFDM仿真中也没有进行什么操作呀，于是……我没有答上来。

我已经不记得前辈的原话，但大概意思是在进入ifft之前需要进行将数据前、后半部分位置交换一下，便可以将[0 2pi]搬移到[-pi pi]，即让0频处在中间。

这个问题，我思考了好几天，接下来整理一下我最近就该问题的思考，也是对我之前写的OFDM相关系列文章的关键补充。

首先说一下，进入ifft之前是否一定要将数据前、后半部分交换一下，答案是必须的，我在之后将给出证明。

第一份材料来自《MIMO-OFDM无线通信技术及MATLAB实现》中OFDM_basic.m的发送机这侧代码：

kk1=1:Nused/2;        kk2=Nused/2+1:Nused;        kk3=1:Nfft;        kk4=1:Nsym;        for k=1:Nframe            if Nvc~=0                X_shift= [0 Xmod(kk2) zeros(1,Nvc-1) Xmod(kk1)];            else                X_shift= [Xmod(kk2) Xmod(kk1)];            end            x= ifft(X_shift);            x_GI(kk4)= guard_interval(Ng,Nfft,NgType,x);            kk1=kk1+Nused;            kk2= kk2+Nused;            kk3=kk3+Nfft;             kk4=kk4+Nsym;        end

我一开始学OFDM的时候，就自动忽略了这部分将数据前、后半部分交换的代码，也即Xmod到X_shift这个过程，直到被前辈问到……

结合上面给出的代码，进入ifft的是X_shift，而不是经过MQAM或者MPSK映射刚出来的Xmod。

而在接收机对应的代码如下：

for k=1:Nframe            Y(kk2)= fft(remove_GI(Ng,Nsym,NgType,y_GI(kk1)));            Y_shift=[Y(kk4) Y(kk5)];            if Ch==0                Xmod_r(kk3) = Y_shift;            else                Xmod_r(kk3)= Y_shift./H_shift;  % Equalizer - channel compensation            end            kk1=kk1+Nsym; kk2=kk2+Nfft; kk3=kk3+Nused; kk4=kk4+Nfft; kk5=kk5+Nfft;        end

Y_shift的操作便是将数据前、半部分换回来，和发射机侧的数据交换相互对应。

第二份材料来源知乎Ahlers：OFDM-功率谱密度的Matlab实现中提到：

第三份材料来自《5G NR in Bullets》中对5G NR 38.211中5.3 OFDM baseband signal generation这部分的解读：

图片来自Chris Johnson《5G NR in Bullets》

由《5G NR in Bullets》P136第2个bullet可知，基带信号需要处在0频附近，因此这导致了一半范围的k对应的子载波频率index为负，而对另一半范围k对应的子载波频率index为0或者正。

在LTE中没有使用DC子载波，这主要是因为本振泄露，本振泄露经过本原振荡器后，将会产生直流分量。如果DC子载波上恰好有有用的信号，直流分量将会对这个有用信号产生干扰。

但是在5G NR中，允许使用DC子载波，这是因为收发机能处理掉本振泄露带来的影响。不管怎么说，DC子载波相比其他子载波，可能处于不利地位。

通过Figure 131与上面对k对应的子载波下标说明。下面给出证明。

假设一个序列 ， …… ，不失一般性，不妨设 。

子载波标号有 到0，1到 共 个子载波，下面需要将：

调制到标号为 的子载波上， 调制到标号为 的子载波上，…… 调制到标号为 的子载波上，那么便有：

令 ，则

对上式右侧的第二部分式子中，令

注意到

所以得到：

注意到， 中的 ，恰好表示的是X的后半部分，

中 ，对应表示的是X的前半部分。

所以在进入ifft操作需要将X的前、后半部分数据进行位置交换，而在MATLAB中可以用fftshift这个函数来实现，该函数的功能便是Shift zero-frequency component to center of spectrum（将零频移到频谱的中央）。

注意到对于X这个序列长度为奇数和偶数时，fftshift的操作稍有不同。

若V是偶数个元素：

%%%%%V有偶数个元素 V = [1 2 3 4 5 6 7 8];X = fftshift(V);Y = ifftshift(X);Y2 = fftshift(X);%%%结论%%%Y与V是相同结果，由于V有偶数个元素，Y2与Y结果相同

若V是奇数个元素：

%%%%%V有奇数个元素V = [1 2 3 4 5 6 7 ];X = fftshift(V);Y = ifftshift(X);Y2 = fftshift(X);%%%Y与V是相同结果，由于V有奇数个元素，Y2与Y结果不同

对于偶数个元素的X来说，有fftshift(fftshift(X))=X，但是对于奇数个元素的X来说，fftshift(fftshift(X))不等于X。

当然，不管X的长度为奇数还是偶数，均有 ifftshift(fftshift(X))=X，这是恒成立的。

除此之外，MATLAB中fftshift这个函数的例子也非常形象，如下：

那么问题来了，为什么我之前的OFDM文章进入IFFT之前没有进行fftshift操作，也能进行仿真呢？

这主要是因为，我之前确实不知道这个常识点，而且我的OFDM代码仿真过程中，是一个基带原理性的仿真，并没有考虑到上载波这个过程。

换句话讲，如果基带信号中心频率不是在0，而是在f/2附近，仅仅对于仿真来说，当然也是可以仿真的，但是在物理意义上便说不过去了，因为没有满足基带附近信号处在零频附近的物理事实。

总之，结论便是：在OFDM系统中，在发射端进入ifft之前，需要将数据进行前半部分与后半部分进行位置对调，目的是让零频处在信号的中央。对调这个操作可以通过MATLAB自带的fftshift函数来完成。

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这是《陈老湿·通信MATLAB仿真》的第7章，下次更新见！