从零开始了解到了线性代数、微积分、泰勒级数、傅里叶级数等等。精通高等数学，是看懂线性代数、傅里叶级数应用的前提条件。
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内容概况
第一部分，线性代数 第1章 抽象的事物 9 第2章 向量 10 2.1 向量的三种视角 10 2.1.1 物理学视角 10 2.1.2 计算机学视角 11 2.1.3 数学视角 14 2.1.5 在向量空间中引入坐标系 15 2.1.6 向量的起点 17 2.2 空间中的有限运动之向量的移动运动，向量加法 18 2.2.1 单个向量的移动运动 18 2.2.2 两个向量的复合移动运动 19 2.3 空间中的有限运动之向量的缩放、反向运动，向量数乘 25 2.3.1 向量在向量空间中缩放运动 25 2.3.2 向量在向量空间中旋转或反向运动 27 2.4 向量的两种表示方式对比 28 第3章 向量的线性组合、基与线性相关 29 3.1 基向量 29 3.2 i帽、j帽写法的特殊性 33 3.4 二维空间中，非直角坐标系的基向量选取 36 3.5 非单位长度的一组向量做基向量 37 3.5.1 两个非单位长度基向量相互垂直 37 3.5.2 两个非单位长度基向量夹任意角 39 3.6.4 两个基向量都为零向量 46 3.7 把向量以终点看作点 47 3.8 基向量组的线性组合张成的空间 47 3.10 推广普适，基的严格定义 50 第4章 矩阵与线性变换 51 4.2 线性变换的运动形式 55 4.3 坐标系的选用 59 4.4 矩阵的写法 61 4.5 矩阵对原空间向量集合的变换 62 4.6 向量乘矩阵代数式 62 4.7 矩阵对空间的操纵 63 4.7.1 矩阵对二维空间的操纵 63 4.7.2 矩阵对三维空间的操纵 71 4.7.3 矩阵对更高维空间的操纵 74 第5章 矩阵乘法与线性变换复合 75 第6章 三维空间中的线性变换 80 第7章 行列式 82 7.1 行列式是一个比例值 83 7.2 行列式的计算方法 84 7.3 行列式值的几何意义 87 7.4 计算三维空间行列式 88 8.2.2 在三维向量空间中 98 8.3 秩 100 8.3.1 行列式为零时的秩 100 8.3.2 行列式不为零时的秩 104 8.3.3 矩阵在线性方程组中的应用 105 第9章 非方阵 106 9.1 非方阵的几何意义 106 9.2 非方阵满足线性变换的规定 107 9.3 非方阵与矩阵的区别 107 9.3.1 非方阵的行数大于输入向量的空间维数 107 9.3.2 非方阵的行数小于输入向量的空间维数 115 9.4 非方阵对空间的映射 116 9.4.1 非方阵对空间的升维映射过程 116 9.4.2 非方阵对空间的降维映射 119 9.4.3 非方阵对空间向量集合的降维映射与空间向量投影的关系 121 第10 章 向量点积 123 10.1 两个向量互相投影的几何意义 124 10.1.1 模长相同向量点积 124 10.1.2 模长不同向量点积 127 10.2 从线性变换角度理解两个向量的点积 129 10.2.1 基向量的投影 130 10.2.2 任意向量的投影 132 10.2.3 任意向量在非单位基向量上的投影 135 10.2.4 高维空间降一维 138 第11章 余弦相似度简单计算 139 11.1 两点之间的相似度计算 139 11.1.1 向量的长度计算 140 11.1.2 计算余弦相似度 142 11.1.3 高维空间余弦相似度计算 144 11.2 矩阵计算相似度 145 11.2.1 矩阵的列向量之间计算余弦相似度 145 第12章 克莱姆法则 147 12.1克莱姆法则解线性方程组的两条限定条件 148 12.1.1 方程个数与未知数个数要相等 148 12.1.2 系数矩阵的行列式不为零 149 12.2 线性变换前后，点积结果相同的思想 150 12.2.1 二维空间中，两个向量的点积结果 150 12.2.2 求解线性方程组 154 12.3 点积的另一种几何说明 159 12.3.1 二维空间中的非正交矩阵 159 12.3.2 应用结论 164 12.3.3 更高维的情况 176 第13章 高斯消元法 176 第14章 向量叉积 190 14.1 二维空间中，向量的叉积 191 14.1.1 二维空间中，向量的叉积定义 191 14.1.2 二维空间中，向量的叉积的常见性质 192 14.2 三维空间中，向量的叉积 193 14.2.1 三维空间中，向量的叉积的定义 193 14.2.2 叉积公式的由来 194 14.3 叉积的应用 201 第15章 坐标系中的基向量 201 15.1 选取标量缩放的对象 202 15.1.1 单位基向量 202 15.1.2 任意基向量 202 15.2 坐标系之间的转换，基变换 203 15.2.1 将第二种坐标系中的向量转换到第一种坐标系 203 15.2.2 将第一种坐标系中的向量转换到第二种坐标系 204 15.3 两种坐标系中各自线性变换的对应关系 206 第16章 特征向量与特征值 207 16.1 同时处于两种坐标系中的向量 208 16.1.1 二维空间中的特征向量与特征值 208 16.1.2 三维空间中的特征向量与特征值 209 16.1.3 计算特征值和特征向量 209 16.2 特征基与对角矩阵 218 16.2.1 特征基与对角矩阵先容 218 16.2.2 对角矩阵的应用 220 16.2.3 计算非对角矩阵的幂次 221 16.3 计算二阶矩阵的特征值 225 16.3.1 特征值平均值 225 16.3.2 特征值与行列式 226 16.3.3 平均值与乘积值推导特征值 226 第17章 抽象向量空间 229 17.1 抽象向量 230 17.1.1广义的向量 230 17.1.2 具有向量特性的事物 230 17.2 微积分中求导与线性变换的关系 232 17.2.1 线性的严格定义 232 17.2.2 函数求导的可加性和成比例 233 17.3.1 向量可加性和成比例遵守的规则 240 第二部分，微积分 第18章 函数的简单先容 242 18.1 符号先容 242 18.1.1 希腊字母概况 242 18.1.2 英文先容 246 18.1.3 文言文先容 247 18.1.4 替代写法先容 248 18.2 函数先容 249 18.1.2 数学函数与计算机编程函数对比 249 18.2.3 基本初等函数 259 18.2.4 简单函数 259 18.2.5 迭代函数 259 第19章 极限 263 19.1.2 曲线的逼近值 268 19.1.3 极限定义的导数 278 19.2.1 逼近 280 19.2.2 新函数的极限存在 281 19.2.2 新函数的极限不存在 283 19.2.3 普通函数的极限 286 19.2.5 导数的辈分关系 289 第20章 微分与积分 290 20.1 积分与导数的关系 292 20.1.1 黎曼和与积分 292 20.1.2 积分与导数 298 第21章 各种求导 306 21.1 几何方法求导 307 21.1.1 幂函数求导 307 21.1.2 三角函数求导 315 21.2 链式法则 319 21.2.1 两个函数相加后求导 319 21.2.2 两个函数相乘后求导 322 21.2.3 两个函数复合后求导 324 21.2.4 洛必达法则 325 21.3 指数函数求导 332 21.3.1 对数的发现 332 21.4 隐函数求导 352 第22章 各种积分 357 22.1 积分的辈分关系 358 22.2 以输入值范围确定积分名 359 22.2.1 输入值范围有限的积分名 359 22.2.2 输入值范围无限的积分名 360 22.3 对没有函数体的事物积分 360 22.3.1 梯形逼近法 361 22.3.2 抛物线逼近法 363 22.4 对环形向量积分 367 22.4.1 积分求质心 367 22.5使用定积分描述链式法则 367 第24章 微分方程 382 24.1 欧拉公式 382 24.1.1 圆半径的多种表达方式 382 24.1.2 复指数在复平面的映射 385 24.1.3 对环形复向量积分 389 24.2 常微分方程 390 24.2.1 有函数体的常微分方程 391 24.2.2 无函数体的常微分方程 393 24.3 偏微分方程 404 24.3.1 热传导方程 404 24.4 傅里叶级数 419 24.4.1 原版傅里叶级数 419 24.4.2 原版万能曲线模拟器 421 24.4.3 从天文学到扩展版傅里叶级数 450 24.5 复傅里叶变换 528 24.5.1 对有函数体的函数进行复傅里叶变换 530 24.5.2 对没有函数体的函数进行复傅里叶变换 547 24.5.3 拉普拉斯变换 554 第25章 自然数e的矩阵幂次 565 25.1 一维实数幂次 565 25.2 二维实数幂次 566 25.2.1 二维实数矩阵幂次 566 25.2.2 相同操作的虚数 574 25.2.3 使用泰勒级数验证收敛性 575
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小节更新记录。
2024年8月9日更新小节：
书中以空间中运动定义向量运算，不摆定义不摆公式，轻松理解。 以空间中运动先容线性代数入门。这种先容方法全网极为罕见。
3.6 向量空间里的线性组合 41
3.6.1 只改变一个基向量 42
3.6.2 两个基向量都改变 43
3.6.3 两个基向量共线 45
3.9 线性有关与线性无关 49
3.9.1 线性相关 49
3.9.2 线性无关 50
通俗讲述“线性”的含义，从零开始理解线性代数。先容“线性”的含义。这种先容方法全网极为罕见。
先容线性变换严格的规定，是安全使用线性变换的前提。 先容出线性变换的规定。这种先容方法全网极为罕见。
第8章 逆矩阵、列空间、秩与零空间 88
8.1 逆矩阵 89
8.2 线性方程组是否有解 96
8.2.1 行列式为0与矩阵的关系 96
引入方程组，并阐明方程组只是向量的一种书写形式。
很多人都知道方程组和向量有关联，但不知道具体是怎么关联的。先容了为何在方程组前加“线性”二字，以及如何使用矩阵求解方程组。
17.2.3 函数空间 234
17.3 向量空间的定义 240
广义的向量，讲述函数也是向量。
先容了世间万物皆可为向量，也是为什么很多复杂的方程带有“线性”“算子”字眼的原因。这种先容方法全网极为罕见。
19.1 极限与导数 264
19.1.1 曲线的弯曲程度 264
先容极限的由来。
全网首次提出了“曲线的弯曲程度”的概念。
19.2.4 求导是线性变换 287明确指出高等数学中求导是线性变换，这一概念也始终贯穿微积分。
21.3.2 指数函数求导 337
详细先容自然数的由来，主要讲述什么是比例常数，如何使用任意常数底数来描述其它指数函数。
数学中为什么很多公式中都含有e指数函数？是因为即便有常数底数的指数函数，也全部通过“比例常数”统一改写为了e指数函数。这种先容方法全网极为罕见。
2024年8月10日更新小节：
全网首次提出了泰勒级数为曲线单点位模拟器，先容了“求导点”的概念，先容如何指定任意求导点。 一般的泰勒级数展开先容的求导点都是在x=0处，编辑认为这样的泰勒级数展开并不能用于去证明其它公式定理，只能用于验证其它公式定理的收敛性验证。 编辑认为“展开”一词没有“模拟”一词表达的更准确，采用“泰勒级数模拟”来代替“泰勒级数展开”的表述。
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发表于 2024-8-9 17:11:41
